Reflexões sobre estudos a respeito do ensino de números
Desde muito pequenas, geralmente incentivadas pelos adultos que as rodeiam, as crianças brincam de contar: 1, 2, 3, 4, 5... Por meio de brincadeiras e de interação com situações da vida cotidiana, elas vão tendo contatos com os números naturais, que formam um conjunto infinito de números, do qual também faz parte o número zero.
Segundo Parra e Saiz (1992), citadas por Panizza (2006, p. 59), os números naturais são usados em situações diversas e desempenham diferentes funções. São elas:
Como memória de quantidade: Os números dão a possibilidade de recordar uma quantidade, embora esta não esteja presente, como por exemplo: quantos são os dias do mês, quantos são os meus irmãos etc.. Nesse caso, dizemos que o número natural está sendo considerado em seu aspecto cardinal.
Como memória de posição: Os números também permitem indicar a posição de um elemento em uma série ordenada, sem que seja preciso repetir toda a série. Quer dizer: ele possibilita guardar o lugar ocupado por um objeto, pessoa ou acontecimento: junho é o sexto mês do ano, eu sento na quinta carteira da fila da janela etc.. É o chamado aspecto ordinal.
Como códigos: Há situações em que os números naturais não expressam nem o aspecto cardinal, nem o ordinal. São usados como códigos, como o número de telefone, de placa de carro, do ônibus etc... O fato do ônibus ser da linha 325 não significa, por exemplo, que essa linha seja a 325ª na ordem de inscrição das linhas de ônibus.
Para expressar grandezas: Há situações em que os números aparecem associados a diferentes grandezas: Pedro tem 7 anos, Maria pesa 32 quilogramas, Cecília entra na escola às 8 horas, etc.
1. Uma síntese de teorias sobre o conceito de número
As
investigações sobre a construção do conceito de número foram
impulsionadas pela teoria de Piaget e também de sua colaboradora Kamii.
Ao longo da década de 90, as investigações sobre a construção do
conceito de número receberam novos olhares e novas contribuições. Uma
delas é a de Michel Fayol. Outra importante contribuição é a das
pesquisadoras argentinas Delia Lerner e Patrícia Sadovsky.
A análise dos trabalhos dos diferentes autores revela pontos comuns, mas também evidencia que a ênfase dada por eles a um determinado aspecto do processo de construção do número é bastante peculiar. Na sequência apresentamos as posições de destaque que esses autores conferem ao processo de construção do conceito de número pelas crianças em um quadro elaborado por Iclea Maria Bonaldo, constante da dissertação de mestrado em Ensino de matemática “Investigações sobre números naturais e processos de ensino e aprendizagem desse tema no início da escolaridade” , sob a orientação da Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires.
A análise dos trabalhos dos diferentes autores revela pontos comuns, mas também evidencia que a ênfase dada por eles a um determinado aspecto do processo de construção do número é bastante peculiar. Na sequência apresentamos as posições de destaque que esses autores conferem ao processo de construção do conceito de número pelas crianças em um quadro elaborado por Iclea Maria Bonaldo, constante da dissertação de mestrado em Ensino de matemática “Investigações sobre números naturais e processos de ensino e aprendizagem desse tema no início da escolaridade” , sob a orientação da Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires.
Piaget*A
construção de conhecimentos se dá por interação entre as estruturas
mentais já existentes na criança, inclusive as inatas, e o ambiente,
mediante a ação.
*As etapas do desenvolvimento mental e as aquisições de estruturas que correspondam a cada etapa ocorrem em uma seqüência onde cada aquisição da criança se apóia em outras anteriores e serve de apoio às posteriores.
*Por análise e síntese a criança no ano inicial do Ensino Fundamental constrói o novo (assimilação), obtendo informações que conflitam com as já existentes e ficam aumentadas quantitativamente (desequilíbrio), ocorrendo realinhamentos e compreensões (acomodação) mudando a qualidade das aplicações (novos esquemas).
*Entre a assimilação e a acomodação ocorre uma espiral crescente de negações de negação, onde assimilações provocam acomodações e acomodações provocam assimilações.
*O número é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva), sendo uma a ordem e a outra a inclusão hierárquica.
Kamii*Ainda é um mistério o como precisamente a criança constrói o número, assim como também o é o processo da aprendizagem da linguagem. Contudo, existe bastante evidência teórica e empírica de que as raízes do número têm uma natureza muito geral.
*O número/conceito numérico é criado mentalmente pela criança. Para ela a estrutura lógico matemática do número não pode ser ensinada mas sim construída pela criança e a noção de número só pode emergir a partir da atividade de estabelecer todos os tipos de relações.
*Enfatiza o jogo como um tipo de atividade poderosa para o ensino/aprendizagem do conceito numérico e destaca os jogos em grupo. Posiciona-se contra as intermináveis folhas de exercícios, que geralmente são propostas para a criança.
*Considera que as crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos nem pela manipulação de objetos, elas os constroem pela abstração reflexiva. Ela sugere que o professor propicie um ambiente de aprendizagem onde haja números falados e escritos.
*A criança não constrói o número fora do contexto geral do pensamento no dia-a-dia. Portanto, o professor deve encorajar a criança a colocar todos os tipos de coisas, idéias e eventos em relações todo o tempo, em vez de focalizar apenas a quantificação.
Fayol*Destaca o componente linguístico, que permite a denominação de número. Defende que a aquisição da sequência verbal depende da diversidade de estímulos fornecidos pelo ambiente. *Avalia que a criança não constrói regras linguísticas da produção das denominações verbais, mas sim, ela os memoriza.
*Em relação à conservação, ele concorda com Piaget e enfatiza que a criança dá respostas errôneas por não compreender o que foi solicitado verbalmente, o que mostra a influência da linguagem nos resultados. Para ele os fracassos das crianças são devidos a incompreensão das instruções dadas.
*No trabalho do professor há impacto maciço da contagem sobre a conservação e a influência das atividades numéricas sobre o acesso à conservação não resulta do impacto direto das mesmas, mas da abstração reflexiva operada pela criança.
*Mesmo sem compreender as funções do número, as crianças parecem perceber muito cedo a sua diversidade. Por exemplo: (a) Indicações idiossincrásicas (incomunicáveis); (b) pictogramas; (c) símbolos que correspondem termo a termo com os elementos sem perceber semelhanças com estes e (d) sinais convencionais.
*A utilização da notação posicional infere dificuldades, principalmente na sua compreensão. *Passagem da enumeração e contagem para codificação e decodificação, por exemplo.
*A compreensão e o emprego dos sinais de operações: +, -, =, etc, é o setor no qual os obstáculos são mais difíceis de serem eliminados. O fato de a criança saber ler os símbolos matemáticos não garante a pertinência de sua interpretação.
Lerner e Sadovsky*O conceito de números pelas crianças é construído com base tanto no desenvolvimento cognitivo quanto na interação com o ambiente social em que convivem. Destacam que a criança entende o número a partir de experiências significativas.
*As crianças elaboram suposições em relação à notação numérica muito antes de ingressar na escola. As dificuldades da criança estão na relação do agrupamento com a escrita numérica e que a criança tem dificuldades em relacionar unidades, dezenas e centenas com o “vai um” ou “pede emprestado”.
*As crianças elaboram critérios de comparação numéricos muito antes de conhecer o número na forma convencional. Elas já fazem a relação entre a posição e o valor dos algarismos quando interagem com a escrita numérica. Assim percebem a regularidade e procuram representar os números pela escrita. Isso ocorre quando a criança interage dentro de um contexto, com o seu mundo real.
*As crianças supõem que a numeração escrita se vincula estritamente a numeração falada e sabem que em nosso sistema de numeração a quantidade de algarismos está relacionada à magnitude do número representado.
*Destacam a importância de jogos e de uso de referências do universo numérico cotidiano das crianças como a fita métrica, álbuns, placas de carros, entre outros.
*As etapas do desenvolvimento mental e as aquisições de estruturas que correspondam a cada etapa ocorrem em uma seqüência onde cada aquisição da criança se apóia em outras anteriores e serve de apoio às posteriores.
*Por análise e síntese a criança no ano inicial do Ensino Fundamental constrói o novo (assimilação), obtendo informações que conflitam com as já existentes e ficam aumentadas quantitativamente (desequilíbrio), ocorrendo realinhamentos e compreensões (acomodação) mudando a qualidade das aplicações (novos esquemas).
*Entre a assimilação e a acomodação ocorre uma espiral crescente de negações de negação, onde assimilações provocam acomodações e acomodações provocam assimilações.
*O número é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva), sendo uma a ordem e a outra a inclusão hierárquica.
Kamii*Ainda é um mistério o como precisamente a criança constrói o número, assim como também o é o processo da aprendizagem da linguagem. Contudo, existe bastante evidência teórica e empírica de que as raízes do número têm uma natureza muito geral.
*O número/conceito numérico é criado mentalmente pela criança. Para ela a estrutura lógico matemática do número não pode ser ensinada mas sim construída pela criança e a noção de número só pode emergir a partir da atividade de estabelecer todos os tipos de relações.
*Enfatiza o jogo como um tipo de atividade poderosa para o ensino/aprendizagem do conceito numérico e destaca os jogos em grupo. Posiciona-se contra as intermináveis folhas de exercícios, que geralmente são propostas para a criança.
*Considera que as crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos nem pela manipulação de objetos, elas os constroem pela abstração reflexiva. Ela sugere que o professor propicie um ambiente de aprendizagem onde haja números falados e escritos.
*A criança não constrói o número fora do contexto geral do pensamento no dia-a-dia. Portanto, o professor deve encorajar a criança a colocar todos os tipos de coisas, idéias e eventos em relações todo o tempo, em vez de focalizar apenas a quantificação.
Fayol*Destaca o componente linguístico, que permite a denominação de número. Defende que a aquisição da sequência verbal depende da diversidade de estímulos fornecidos pelo ambiente. *Avalia que a criança não constrói regras linguísticas da produção das denominações verbais, mas sim, ela os memoriza.
*Em relação à conservação, ele concorda com Piaget e enfatiza que a criança dá respostas errôneas por não compreender o que foi solicitado verbalmente, o que mostra a influência da linguagem nos resultados. Para ele os fracassos das crianças são devidos a incompreensão das instruções dadas.
*No trabalho do professor há impacto maciço da contagem sobre a conservação e a influência das atividades numéricas sobre o acesso à conservação não resulta do impacto direto das mesmas, mas da abstração reflexiva operada pela criança.
*Mesmo sem compreender as funções do número, as crianças parecem perceber muito cedo a sua diversidade. Por exemplo: (a) Indicações idiossincrásicas (incomunicáveis); (b) pictogramas; (c) símbolos que correspondem termo a termo com os elementos sem perceber semelhanças com estes e (d) sinais convencionais.
*A utilização da notação posicional infere dificuldades, principalmente na sua compreensão. *Passagem da enumeração e contagem para codificação e decodificação, por exemplo.
*A compreensão e o emprego dos sinais de operações: +, -, =, etc, é o setor no qual os obstáculos são mais difíceis de serem eliminados. O fato de a criança saber ler os símbolos matemáticos não garante a pertinência de sua interpretação.
Lerner e Sadovsky*O conceito de números pelas crianças é construído com base tanto no desenvolvimento cognitivo quanto na interação com o ambiente social em que convivem. Destacam que a criança entende o número a partir de experiências significativas.
*As crianças elaboram suposições em relação à notação numérica muito antes de ingressar na escola. As dificuldades da criança estão na relação do agrupamento com a escrita numérica e que a criança tem dificuldades em relacionar unidades, dezenas e centenas com o “vai um” ou “pede emprestado”.
*As crianças elaboram critérios de comparação numéricos muito antes de conhecer o número na forma convencional. Elas já fazem a relação entre a posição e o valor dos algarismos quando interagem com a escrita numérica. Assim percebem a regularidade e procuram representar os números pela escrita. Isso ocorre quando a criança interage dentro de um contexto, com o seu mundo real.
*As crianças supõem que a numeração escrita se vincula estritamente a numeração falada e sabem que em nosso sistema de numeração a quantidade de algarismos está relacionada à magnitude do número representado.
*Destacam a importância de jogos e de uso de referências do universo numérico cotidiano das crianças como a fita métrica, álbuns, placas de carros, entre outros.
** fonte: http://www.pucsp.br/pos/edmat/mp/dissertacao/iclea_bonaldo.pdf
INGREDIENTES DO ENSINAR
Madalena Freire
— O que é intervir? — O que é encaminhar? — O que é devolver?
Toda ação educativa tem o seu papel principal na intervenção, no encaminhamento e na devolução: pois esses são constitutivos do ato de aprender e ensinar.
O que varia, é como cada concepção de educação concebe o que é ensinar, o que é aprender, o que é conhecer e, portanto, qual o exercício da intervenção, do encaminhamento e da devolução.
Para uma concepção que busca uma relação democrática, o ato de intervir fundamenta, prepara, aquece, instiga, provoca, impulsiona o processo de aprendizagem e a construção do conhecimento. Através do planejamento de suas intervenções, suas perguntas ao grupo, o educador lança questionamentos que instiga a todos o pensar, o refletir, duvidar sobre o que sabem; para assim, no mal-estar provocado (do choque entre o velho e o novo), possam iniciar a construção do que ainda não conhecem.
Tanto educador como educando fazem, exercitam cada um em sua função, intervenções, encaminhamentos e devoluções. Para construir a aula, juntamente com o educador, o educando necessita exercitar suas intervenções, propor encaminhamentos e fazer devoluções tanto pra seus pares quanto para o educador.
Na construção de suas intervenções, o educador necessita ter claro seu foco, dentro do conteúdo que vai priorizar no seu ensinar. A delimitação do conteúdo possibilita objetivar, também, o foco das intervenções. São as intervenções que sedimentam o aprendizado de perguntar, questionar, que provoca o aluno a pensar – alicerce da aprendizagem significativa e construção do novo. Portanto, primeiro movimento do ensinar, na construção da aula, está centrado no planejamento das hipóteses de intervenções por parte do educador. É neste exercício que o educador vai estruturando seu aprendizado de aprender a perguntar. São as intervenções que vão alicerçando o “desembrulhar” do objeto em estudo, do conteúdo. Elas vão possibilitando que cada um socialize suas dúvidas, seus saberes, e desse modo preferem constatar, tanto o que já sabem como principalmente o que não conhecem.
Foco do desafio do educador no seu ensinar, encontra-se, justamente, nesta segunda constatação. Para isso deve construir seus encaminhamentos, que constitui o segundo movimento na construção da aula. Os encaminhamentos são as propostas de atividades dentro da rotina da aula, as tarefas, os passos a seguir em determinada atividade, a mudança da pauta que exigiu um novo encaminhamento. É através de seus encaminhamentos que o educador direciona, organiza, delimita o caminho do pensar, sobre o conteúdo de estudo. Os encaminhamentos oferecem espaço à interação do sujeito com o objeto do conhecimento. Objeto agora “desembrulhado”, onde o desafio é estudá-lo, na intimidade individual e/ou coletiva das atividades, para transformá-lo em conteúdo funcional na prática de cada um.
São as intervenções e os encaminhamentos que vão construindo os movimentos de devolução. A devolução apazigua o mal estar, o confronto com o não sei, porque sistematiza organizadamente as informações que o grupo necessita, oferece esclarecimento teórico para a compreensão do que vinha sendo trabalhado desde as primeiras intervenções. Pois, quando o educador começa a fazer suas intervenções ele deve ter claro onde quer chegar em sua devolução. De certa forma, portanto, a devolução é o clímax, o coroamento do que o educador trabalha para atingir no seu ensinar. Ele ensina para fazer devoluções e ao mesmo tempo porque luta por isso, tem que construí-lo mediado por suas intervenções e encaminhamentos. Dessa maneira cada ingrediente desses, depende um do outro e são construídos na dialogicidade do processo. Pois, logo após a conquista de determinado conteúdo apreendido, o educador já vislumbra nossas intervenções que, outra vez, deflagrarão novas inquietações na busca do que constatam que ainda faltam conhecer. E a espiral não tem fim...
Vale salientar que esses três ingredientes podem ser exercitados em diferentes linguagens: verbal, plástica, gestual, musical. Em todas essas linguagens o pensar sobre, pode ser exercitado. Ele não se dá somente na linguagem verbal. Contudo a linguagem verbal tem seu papel fundamental na socialização do pensamento, apoiando as linguagens não verbais.
Temos, também, a nível da intervenção e do encaminhamento a possibilidade de utilizarmos materiais diversificados . Podemos criar a nível espacial, onde pela arrumação do espaço, questionamos determinada concepção de educação, sua postura pedagógica. Provocamos o pensar sobre, a partir da leitura de uma intervenção espacial. A socialização do lido é que se apoiará na linguagem verbal.
Também podemos construir encaminhamentos que trabalham conjuntamente materiais e espaço. Quando propomos uma tarefa onde o desafio é desenha com lápis, de olhos fechados, a imagem vista em folhas de tamanhos variados, trabalhamos estes dois focos ao mesmo tempo. Ou ainda: a reflexão sobre o tema em estudo poderá ser trabalhada em material plástico ou tridimensional, mas numa ou em outra o espaço trabalhado deverá ter proporções minúsculas etc
Devoluções estéticas (obras de arte) enriquecem e possibilitam ampliação de pensamento, pois estes três ingredientes não são exercitados em compartimentos estanques. O sujeito é uma totalidade, no exercício de comunicação utilizando-se de várias linguagens, onde estes ingredientes no seu ensinar re-intercruzam no movimento dialógico de construção do processo e conquista do produto.
Não há ação educativa que prescinda deles, pelo simples fato de que toda ação educativa é diretiva. Direciona-se para a conquista de um determinado produto de aprendizagem. Pois todo educador ensina e enquanto ensina aprende a fazer suas intervenções, encaminhamentos e devoluções.
*In Avaliação e Planejamento : A prática educativa em questão. Instrumentos Metodológicos II, 1997, pg 9.
Toda ação educativa tem o seu papel principal na intervenção, no encaminhamento e na devolução: pois esses são constitutivos do ato de aprender e ensinar.
O que varia, é como cada concepção de educação concebe o que é ensinar, o que é aprender, o que é conhecer e, portanto, qual o exercício da intervenção, do encaminhamento e da devolução.
Para uma concepção que busca uma relação democrática, o ato de intervir fundamenta, prepara, aquece, instiga, provoca, impulsiona o processo de aprendizagem e a construção do conhecimento. Através do planejamento de suas intervenções, suas perguntas ao grupo, o educador lança questionamentos que instiga a todos o pensar, o refletir, duvidar sobre o que sabem; para assim, no mal-estar provocado (do choque entre o velho e o novo), possam iniciar a construção do que ainda não conhecem.
Tanto educador como educando fazem, exercitam cada um em sua função, intervenções, encaminhamentos e devoluções. Para construir a aula, juntamente com o educador, o educando necessita exercitar suas intervenções, propor encaminhamentos e fazer devoluções tanto pra seus pares quanto para o educador.
Na construção de suas intervenções, o educador necessita ter claro seu foco, dentro do conteúdo que vai priorizar no seu ensinar. A delimitação do conteúdo possibilita objetivar, também, o foco das intervenções. São as intervenções que sedimentam o aprendizado de perguntar, questionar, que provoca o aluno a pensar – alicerce da aprendizagem significativa e construção do novo. Portanto, primeiro movimento do ensinar, na construção da aula, está centrado no planejamento das hipóteses de intervenções por parte do educador. É neste exercício que o educador vai estruturando seu aprendizado de aprender a perguntar. São as intervenções que vão alicerçando o “desembrulhar” do objeto em estudo, do conteúdo. Elas vão possibilitando que cada um socialize suas dúvidas, seus saberes, e desse modo preferem constatar, tanto o que já sabem como principalmente o que não conhecem.
Foco do desafio do educador no seu ensinar, encontra-se, justamente, nesta segunda constatação. Para isso deve construir seus encaminhamentos, que constitui o segundo movimento na construção da aula. Os encaminhamentos são as propostas de atividades dentro da rotina da aula, as tarefas, os passos a seguir em determinada atividade, a mudança da pauta que exigiu um novo encaminhamento. É através de seus encaminhamentos que o educador direciona, organiza, delimita o caminho do pensar, sobre o conteúdo de estudo. Os encaminhamentos oferecem espaço à interação do sujeito com o objeto do conhecimento. Objeto agora “desembrulhado”, onde o desafio é estudá-lo, na intimidade individual e/ou coletiva das atividades, para transformá-lo em conteúdo funcional na prática de cada um.
São as intervenções e os encaminhamentos que vão construindo os movimentos de devolução. A devolução apazigua o mal estar, o confronto com o não sei, porque sistematiza organizadamente as informações que o grupo necessita, oferece esclarecimento teórico para a compreensão do que vinha sendo trabalhado desde as primeiras intervenções. Pois, quando o educador começa a fazer suas intervenções ele deve ter claro onde quer chegar em sua devolução. De certa forma, portanto, a devolução é o clímax, o coroamento do que o educador trabalha para atingir no seu ensinar. Ele ensina para fazer devoluções e ao mesmo tempo porque luta por isso, tem que construí-lo mediado por suas intervenções e encaminhamentos. Dessa maneira cada ingrediente desses, depende um do outro e são construídos na dialogicidade do processo. Pois, logo após a conquista de determinado conteúdo apreendido, o educador já vislumbra nossas intervenções que, outra vez, deflagrarão novas inquietações na busca do que constatam que ainda faltam conhecer. E a espiral não tem fim...
Vale salientar que esses três ingredientes podem ser exercitados em diferentes linguagens: verbal, plástica, gestual, musical. Em todas essas linguagens o pensar sobre, pode ser exercitado. Ele não se dá somente na linguagem verbal. Contudo a linguagem verbal tem seu papel fundamental na socialização do pensamento, apoiando as linguagens não verbais.
Temos, também, a nível da intervenção e do encaminhamento a possibilidade de utilizarmos materiais diversificados . Podemos criar a nível espacial, onde pela arrumação do espaço, questionamos determinada concepção de educação, sua postura pedagógica. Provocamos o pensar sobre, a partir da leitura de uma intervenção espacial. A socialização do lido é que se apoiará na linguagem verbal.
Também podemos construir encaminhamentos que trabalham conjuntamente materiais e espaço. Quando propomos uma tarefa onde o desafio é desenha com lápis, de olhos fechados, a imagem vista em folhas de tamanhos variados, trabalhamos estes dois focos ao mesmo tempo. Ou ainda: a reflexão sobre o tema em estudo poderá ser trabalhada em material plástico ou tridimensional, mas numa ou em outra o espaço trabalhado deverá ter proporções minúsculas etc
Devoluções estéticas (obras de arte) enriquecem e possibilitam ampliação de pensamento, pois estes três ingredientes não são exercitados em compartimentos estanques. O sujeito é uma totalidade, no exercício de comunicação utilizando-se de várias linguagens, onde estes ingredientes no seu ensinar re-intercruzam no movimento dialógico de construção do processo e conquista do produto.
Não há ação educativa que prescinda deles, pelo simples fato de que toda ação educativa é diretiva. Direciona-se para a conquista de um determinado produto de aprendizagem. Pois todo educador ensina e enquanto ensina aprende a fazer suas intervenções, encaminhamentos e devoluções.
*In Avaliação e Planejamento : A prática educativa em questão. Instrumentos Metodológicos II, 1997, pg 9.
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